Perbandingan Trigonometri

Bangun segitiga yang bermacam-macam ukurannya memiliki perbandingan trigonometri yang sama antara satu dengan yang lain. Perbandingan yang tetap ini dapat kita gunakan untuk mengukur tinggi sebuah pohon atau suatu bangunan yang belum kita ketahui. Ajaklah satu orang teman kalian untuk turut serta dalam uji coba ini. Cara yang digunakan adalah posisikan kalian, teman kalian, serta pohon atau bangunan yang akan dihitung tingginya dalam satu garis lurus. Dalam suatu bayangan, posisikan kalian dalam ujung bayangan benda yang diukur. Posisikan teman kalian sehingga ujung bayangannya berimpit dengan bayangan benda. Kemudian hitung masing-masing tinggi badan teman kalian (t), banyaknya langkah dari kalian ke teman kalian (a), dan banyaknya langkah dari posisi kalian ke pohon (b).

Akhirnya, kita dapat menghitung  bangunan dengan rumus:

A. Perbandingan Trigonometri

1. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-Siku

Perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga siku-siku OAB didefinisikan sebagai berikut.

x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) 

y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) 

r = sisi miring (proyektum)

Perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga siku-siku OAB didefinisikan sebagai berikut.

Dari perbandingan di atas, kita memperoleh hubungan sebagai berikut.

Contoh: 

Suatu garis OP dengan O (0,0) dan P (12,5) membentuk sudut α terhadap sumbu X positif. Tentukan perbandingan trigonometrinya! 

Penyelesaian:

2. Perbandingan Trigonometri Sudut Khusus 

Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut istimewa antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, dan seterusnya.

a. Sudut 0° 

b. Sudut 30° dan 60° 

Jika ∠ ABC = 90° dan α 1 = 30° maka α 2 = 60°. Dengan perbandingan AB : BC : AC = : 1 : 2 diperoleh:

c. Sudut 45° 

Jika ∠ ABC = 90° dan sudut α = 45° maka dengan memerhatikan gambar di samping diperoleh: AB = BC = sama panjang = 1; AC = 

 Diperoleh:

d. Sudut 90°

Karena α = 90° maka AC berimpit sumbu Y. Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0. 

Diperoleh:

Dari uraian di atas, diperoleh tabel sebagai berikut.

Contoh: 

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, ∠ BAC = 30°, dan panjang sisi AC = 30 cm. Hitunglah panjang sisi a dan c.

3. Perbandingan Trigonometri Sudut di Berbagai Kuadran

a. Sudut pada Kuadran

Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Dari gambar di atas dapat ditentukan tanda (+/–) nilai perbandingan trigonometri pada masing-masing kuadran.

i. Sudut Berelasi

a. Sudut di Kuadran I (0° < x < 90°) 

Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan titik P (x, y).

Dapat disimpulkan bahwa:

Contoh: 

1. sin 30° = sin (90° – 60°) = cos 60° 

2. cos 45° = sin (90° – 45°) = sin 45° 

3. tan 30° = tan (90° –60°) = cot 60°

b. Sudut di Kuadran II (90° < x < 180°) 
Perhatikan Δ OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik P′ (–x,y) di kuadran II.

Dari beberapa rumusan di atas, dapat disimpulkan:

c. Sudut di Kuadran III (180° < x < 270°) 

Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan titik P (x,y) dan titik P′ (–x,–y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut.

Dari beberapa rumusan di atas, dapat disimpulkan:

d. Sudut di Kuadran IV (270° < x < 360°) 

Perhatikan Δ OAP, titik P (x,y) di kuadran I, Δ OA′P′ dan P′ (x′,y′) di kuadran IV. Diperoleh relasi sebagai berikut.

Dari beberapa rumusan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut.